Trắc Nghiệm Toán 12 Cánh Diều Chương 4 Bài 4 là bộ đề ôn tập ứng dụng quan trọng môn Toán lớp 12, bám sát nội dung sách giáo khoa Cánh Diều. Đề do thầy Nguyễn Việt Hùng – giáo viên môn Toán tại Trường THPT Việt Đức biên soạn năm học 2024–2025. Đây là bài học then chốt thuộc “Chương IV: Nguyên hàm. Tích phân”, với nội dung của “Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân” tập trung vào việc sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và tính thể tích khối tròn xoay. Bộ câu hỏi trắc nghiệm môn Toán 12 cánh diều này là tài liệu quan trọng giúp học sinh nắm vững các dạng bài toán thực tế của tích phân.
Hệ thống Trắc nghiệm Toán học lớp 12 trên nền tảng detracnghiem.edu.vn được thiết kế để giúp học sinh trực quan hoá các bài toán ứng dụng. Với kho câu hỏi đa dạng, từ các bài toán tính diện tích cơ bản đến các bài toán tính thể tích phức tạp, học sinh có thể thực hành không giới hạn. Mỗi câu hỏi đều đi kèm đáp án và lời giải chi tiết, giúp các em không chỉ kiểm tra kết quả mà còn hiểu rõ cách thiết lập công thức và các bước tính toán. Biểu đồ phân tích tiến độ học tập cá nhân giúp học sinh nhận diện điểm mạnh, điểm yếu để xây dựng chiến lược ôn tập khoa học. Đây là công cụ hữu ích giúp học sinh tự tin chinh phục các bài Trắc nghiệm ôn thi 12.
Trắc Nghiệm Toán 12 Cánh Diều Có Đáp Án
Chương 4: Nguyên hàm – Tích phân
Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ được tính theo công thức nào sau đây, khi $f(x)$ có thể đổi dấu trên đoạn $[a;b]$?
A. $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.
B. $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ nếu $a > b$.
C. $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.
D. $S = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx$.
Câu 2: Quan sát Hình 11, hãy cho biết hình phẳng $H_1$ được giới hạn bởi các đường nào trong hệ trục tọa độ Oxy?
A. Đồ thị $y = x^3 – 2x^2 – x + 2$, trục hoành, $x=-1$, $x=0$.
B. Đồ thị $y = x^3 – 2x^2 – x + 2$, trục hoành, $x=1$, $x=2$.
C. Đồ thị $y = x^3 – 2x^2 – x + 2$, trục hoành, $x=0$, $x=1$.
D. Đồ thị $y = x^3 – 2x^2 – x + 2$, trục hoành, $x=0$, $x=2$.
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1$, $x=1$ là bao nhiêu đơn vị diện tích?
A. 0.
B. 1/4.
C. 1.
D. 1/2.
Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ được tính theo công thức nào, giả sử $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$?
A. $S = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx$.
B. $S = \int_{a}^{b} |f(x) + g(x)| dx$.
C. $S = \int_{a}^{b} (f(x) – g(x)) dx$.
D. $S = \int_{a}^{b} |f(x) – g(x)| dx$.
Câu 5: Cho hàm số $y = x^3 + 2x + 1$ và $y = x^3 + x + 3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$ là bao nhiêu đơn vị diện tích?
A. 1.
B. 0.
C. 1.5.
D. 2.
Câu 6: Thể tích của một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại $x=a$ và $x=b$, với $a < b$. Mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại $x$ ($a \le x \le b$) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích $S(x)$. Công thức tính thể tích $V$ của vật thể đó là gì?
A. $V = \int_{a}^{b} S(x) dx$.
B. $V = \int_{a}^{b} S^2(x) dx$.
C. $V = \pi \int_{a}^{b} S(x) dx$.
D. $V = (b-a) S(x)$.
Câu 7: Đối với khối lăng trụ có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $B$, thể tích $V$ của khối lăng trụ đó được tính bởi công thức nào sau đây?
A. $V = \frac{1}{3}Bh$.
B. $V = \frac{1}{2}Bh$.
C. $V = Bh$.
D. $V = B^2h$.
Câu 8: Đối với khối chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $B$, thể tích $V$ của khối chóp đó được tính bởi công thức nào sau đây?
A. $V = Bh$.
B. $V = \frac{1}{2}Bh$.
C. $V = B^2h$.
D. $V = \frac{1}{3}Bh$.
Câu 9: Khi một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục, không âm trên đoạn $[a;b]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ quay quanh trục Ox, thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào?
A. $V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx$.
B. $V = \int_{a}^{b} f^2(x) dx$.
C. $V = \pi \int_{a}^{b} f(x) dx$.
D. $V = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.
Câu 10: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x) = x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ quay quanh trục Ox là bao nhiêu đơn vị thể tích?
A. $\pi/3$.
B. $7\pi/3$.
C. $8\pi/3$.
D. $7\pi/3$.
Câu 11: Cho hàm số $f(x) = \sqrt{x}$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$ quay quanh trục Ox là bao nhiêu đơn vị thể tích?
A. $4\pi$.
B. $2\pi$.
C. $8\pi/3$.
D. $2\pi$.
Câu 12: Hình thang cong ABCD trong Hình 28 được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{4}{x}$, đường thẳng $y = x – 3$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=4$. Diện tích của hình thang cong này được tính bởi tích phân nào?
A. $\int_{1}^{4} (\frac{4}{x} + x – 3) dx$.
B. $\int_{1}^{4} (x – 3 – \frac{4}{x}) dx$.
C. $\int_{1}^{4} |\frac{4}{x} + x – 3| dx$.
D. $\int_{1}^{4} (\frac{4}{x} – x + 3) dx$.
Câu 13: Cho đồ thị hàm số $y=e^x$ và hình phẳng được tô màu như Hình 29. Hình phẳng đó được giới hạn bởi những đường nào?
A. $y=e^x$, trục tung, $y=-1$, $y=1$.
B. $y=e^x$, trục hoành, trục tung.
C. $y=e^x$, trục hoành, $x=-1$, $x=1$.
D. $y=e^x$, trục tung, trục hoành.
Câu 14: Tính diện tích hình phẳng trong Câu 13, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=e^x$, trục hoành, $x=-1$ và $x=1$.
A. $e – 1/e$.
B. $e + e^{-1}$.
C. $2e$.
D. $e – e^{-1}$.
Câu 15: Cho đồ thị các hàm số $y = (1/2)^x$ và $y = x+1$ cùng hình phẳng được tô màu như Hình 30. Hình phẳng đó được giới hạn bởi những đường nào?
A. $y = (1/2)^x$, $y = x+1$, trục tung.
B. $y = (1/2)^x$, trục hoành, $x=0$, $x=1$.
C. $y = x+1$, trục hoành, $x=0$, $x=1$.
D. $y = (1/2)^x$, trục tung, trục hoành.
Câu 16: Tính diện tích hình phẳng trong Câu 15, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = (1/2)^x$, $y = x+1$ và trục tung, biết chúng cắt nhau tại $x=0$ và một điểm khác mà hoành độ là 1.
A. $\frac{1}{2\ln 2} + \frac{1}{2}$.
B. $\frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{2}$.
C. $\frac{1}{2\ln 2} + 1$.
D. $\frac{-1}{2\ln 2} + \frac{1}{2}$.
Câu 17: Cho đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ và khối tròn xoay như Hình 31. Hình phẳng nào để khi quay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay Hình 31?
A. Hình phẳng giới hạn bởi $y=1/x$, trục Ox, $x=0$, $x=2$.
B. Hình phẳng giới hạn bởi $y=1/x$, trục Ox, $x=1$, $x=2$.
C. Hình phẳng giới hạn bởi $y=1/x$, trục Oy, $y=1$, $y=2$.
D. Hình phẳng giới hạn bởi $y=1/x$, trục Ox, $x=1$, $x=3$.
Câu 18: Tính thể tích khối tròn xoay trong Câu 17, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ khi quay quanh trục Ox.
A. $\pi/4$.
B. $\pi$.
C. $\pi/2$.
D. $\pi/2$.
Câu 19: Cho đồ thị hàm số $y=f(t)$ như Hình 32. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(t)$, trục Ot và hai đường thẳng $t=0$, $t=2$.
A. 1.
B. 1.5.
C. 2.
D. 2.5.
Câu 20: Dựa vào Hình 32, tích phân $\int_{1}^{4} f(u)du$ biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường nào?
A. Đồ thị $y=f(u)$, trục Ou, và đường $u=1$ đến $u=4$.
B. Diện tích hình phẳng nằm hoàn toàn phía trên trục Ou từ $u=1$ đến $u=4$.
C. Tổng diện tích của các hình phẳng dương và âm từ $u=1$ đến $u=4$.
D. Diện tích đại số giới hạn bởi $y=f(u)$, trục Ou, và đường $u=1$ đến $u=4$.
Câu 21: Một mái vòm có dạng hình parabol với chiều rộng đáy 70 m và chiều cao 21 m. Diện tích mặt kính lắp vào mái vòm đó (giả sử mặt cắt là một parabol) là bao nhiêu mét vuông?
A. 980.
B. 490.
C. 735.
D. 1470.
Câu 22: Hình 34 minh họa mặt cắt kênh có đáy là một đường cong cho bởi phương trình $y = f(x) = \frac{1}{100}(\frac{1}{3}x^3 + 5x^2)$. Diện tích hình phẳng màu xanh trong Hình 34 (giới hạn từ $x=-5$ đến $x=10$) là bao nhiêu mét vuông?
A. 25,00.
B. 26,00.
C. 26,50.
D. 26,5625.
Câu 23: Cho tam giác OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Gọi $\alpha$ là góc POM với $0 \le \alpha \le \pi/3$, và $OM=L$. Khối tròn xoay thu được khi quay tam giác này xung quanh trục Ox có thể tích là gì theo L và $\alpha$?
A. $\pi L^3 \sin \alpha \cos^2 \alpha$.
B. $\frac{1}{3}\pi L^3 \sin^2 \alpha \sin \alpha$.
C. $\frac{1}{3}\pi L^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha$.
D. $\frac{1}{3}\pi L^3 \cos^2 \alpha \sin \alpha$.
Câu 24: Một thùng rượu vang có hình dạng tròn xoay được tạo thành khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -0.011x^2 – 0.071x + 40$, trục Ox và hai đường thẳng $x=-35$, $x=35$ quay quanh trục Ox. Thể tích của thùng rượu vang đó (làm tròn đến hàng đơn vị) là bao nhiêu centimét khối?
A. Khoảng 42000 cm$^3$.
B. Khoảng 43000 cm$^3$.
C. Khoảng 44000 cm$^3$.
D. Khoảng 42800 cm$^3$.
Câu 25: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-2x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1$, $x=3$ (Hình 13), ta cần thực hiện phép tính nào sau đây?
A. $\int_{-1}^{3} (x^2-2x) dx$.
B. $\int_{-1}^{0} (x^2-2x) dx + \int_{0}^{2} -(x^2-2x) dx + \int_{2}^{3} (x^2-2x) dx$.
C. $\int_{-1}^{3} |x^2-2x| dx$ mà không chia đoạn.
D. $\int_{-1}^{0} (x^2-2x) dx + \int_{0}^{2} -(x^2-2x) dx + \int_{2}^{3} (x^2-2x) dx$.
Câu 26: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi nửa hình tròn tâm O bán kính $r$, nằm trong miền $-r \le x \le r$, quay quanh trục Ox là gì?
A. $\frac{4}{3}\pi r^3$.
B. $\frac{2}{3}\pi r^3$.
C. $\frac{4}{3}\pi r^2$.
D. $\frac{1}{2}\pi r^3$.
Câu 27: Cho hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a;b]$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$. Điều kiện “không âm” của $f(x)$ có ý nghĩa gì đối với công thức tính diện tích?
A. Diện tích sẽ luôn bằng 0.
B. Không cần dùng tích phân.
C. Không cần dùng giá trị tuyệt đối.
D. Có thể bỏ qua trục hoành.
Câu 28: Một khu vườn có đường cong AB được mô tả bởi hàm số $f(x) = x^2+2$ trên đoạn $[0;10]$. Đường cong DC được tạo ra bằng cách tịnh tiến AB lên 2 đơn vị theo phương thẳng đứng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong này và hai đường thẳng $x=0$, $x=10$ là bao nhiêu đơn vị diện tích?
A. 10.
B. 15.
C. 25.
D. 20.
Câu 29: Phát biểu nào sau đây là không chính xác khi nói về mối quan hệ giữa tích phân và ứng dụng hình học?
A. Tích phân luôn biểu thị một giá trị dương.
B. Tích phân có thể tính diện tích hình phẳng.
C. Tích phân có thể tính thể tích vật thể.
D. Tích phân có thể tính thể tích khối tròn xoay.
Câu 30: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành trên đoạn $[a,b]$ khi $f(x)$ có thể đổi dấu, việc chia đoạn và dùng giá trị tuyệt đối có ý nghĩa gì?
A. Đảm bảo tích phân dễ tính hơn.
B. Đảm bảo kết quả diện tích luôn dương.
C. Giúp tìm ra điểm cực trị của hàm số.
D. Đơn giản hóa biểu thức của hàm số.
Câu 31: Thể tích vật thể khi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x (1 ≤ x ≤ 2) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích $S(x) = 2x$ là bao nhiêu?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 3.
Câu 32: Cho hàm số $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$ và $y = \frac{1}{2}x^2 – \frac{5}{2}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị và hai đường thẳng $x=1$, $x=4$ là bao nhiêu đơn vị diện tích?
A. $57/4$.
B. $59/4$.
C. $61/4$.
D. $63/4$.
Câu 33: Một khối lập phương có cạnh bằng 1. Khi cắt khối lập phương bằng một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x (0 ≤ x ≤ 1), hình phẳng nhận được có diện tích là S(x). Công thức của S(x) là gì?
A. $S(x) = x^2$.
B. $S(x) = 1$.
C. $S(x) = \pi x^2$.
D. $S(x) = 1/x$.
Câu 34: Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 1 (như trong Câu 33) có thể được tính bằng tích phân nào?
A. $\int_{0}^{1} x^2 dx$.
B. $\int_{0}^{1} 1 dx$.
C. $\int_{0}^{1} \pi x^2 dx$.
D. $\int_{0}^{1} (1-x) dx$.
Câu 35: So sánh thể tích của khối lập phương (trong Câu 33) với tích phân $\int_{0}^{1} S(x) dx$. Mối quan hệ nào sau đây là đúng?
A. Thể tích lớn hơn tích phân.
B. Thể tích nhỏ hơn tích phân.
C. Không thể so sánh được.
D. Thể tích bằng tích phân.
Câu 36: Thể tích khối chóp cụt tạo bởi khối chóp, diện tích hai đáy lần lượt là $B, B’$ và chiều cao $h$. Chọn trục Ox sao cho O trùng với đỉnh S (Hình 21). Công thức tính thể tích của khối chóp cụt đó là gì?
A. $V = \frac{1}{3}h(B + B’)$.
B. $V = h(B + B’)$.
C. $V = \frac{1}{3}h(B + \sqrt{BB’} + B’)$.
D. $V = \frac{1}{3}h(B + \sqrt{BB’} + B’)$.
Câu 37: Người ta dự định lát kính cho cửa của một mái vòm dạng hình parabol. Mái vòm có chiều cao 20 m và rộng 60 m. Diện tích mặt kính lắp vào là bao nhiêu mét vuông?
A. 1000.
B. 800.
C. 1200.
D. 800.
Câu 38: Một chiếc chèn trong bộ ấm chén được tạo thành khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x) = 0,14x^3 – 0,87x^2 + 1,92x + 0,85$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=3$ quay quanh trục Ox. Thể tích của chiếc chèn này (làm tròn đến hàng đơn vị) là bao nhiêu centimét khối?
A. 40.
B. 41.
C. 43.
D. 42.
Câu 39: Trong ứng dụng tính diện tích, nếu đồ thị hàm số $y=f(x)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành trên đoạn $[a;b]$, thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và các đường $x=a, x=b$ được tính như thế nào?
A. $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.
B. $S = \int_{a}^{b} (-f(x)) dx$.
C. $S = |\int_{a}^{b} f(x) dx|$.
D. $S = \int_{a}^{b} (-f(x)) dx$.
Câu 40: Khi tính thể tích của một khối tròn xoay, việc bình phương hàm số $f(x)$ trong tích phân có ý nghĩa gì về mặt hình học?
A. Biểu diễn diện tích mặt cắt hình vuông.
B. Biểu diễn chu vi đường tròn quay.
C. Biểu diễn diện tích mặt cắt hình tròn.
D. Biểu diễn bán kính của đĩa quay.
